設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-
1
2
ax2-bx

(1)當(dāng)a=b=
1
2
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)當(dāng)a=0,b=-1時(shí),方程2mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)m的值.
分析:(1 )先求定義域,再求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求最值.
(2)先把程2mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解,轉(zhuǎn)化為所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解,再利用單調(diào)函數(shù)求解.
解答:解:(1)依題意,知f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).(1分)
當(dāng) a=b=
1
2
時(shí),f(x)=lnx-
1
4
x2-
1
2
x
,
f(x)=
1
x
-
1
2
x-
1
2
=
-(x+2)(x-1)
2x
.(2分)
令f′(x)=0,解得x=1.
當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減.(3分)
所以f(x)的極大值為 f(1)=-
3
4
,此即為最大值.(4分)
(2)因?yàn)榉匠?mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解,
所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解.
設(shè)g(x)=x2-2mlnx-2mx,則 g(x)=
2x2-2mx-2m
x

令g′(x)=0,得x2-mx-m=0.
因?yàn)閙>0,x>0,
所以 x1=
m-
m2+4m
2
<0
(舍去),x2=
m+
m2+4m?
2
,(10分)
當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),g′(x)<0,g(x)在(0,x2)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)單調(diào)遞增.
當(dāng)x=x2時(shí),g′(x2)=0g(x),g(x2)取最小值g(x2).(11分)
因?yàn)間(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0.
g(x2)=0
g(x2)=0
,即
x22-2mlnx2-2mx2=0
x22-mx2-m =0
所以2mlnx2+mx2-m=0,
因?yàn)閙>0,所以2lnx2+x2-1=0.(12分)
設(shè)函數(shù)h(x)=2lnx+x-1,
因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),h(x)是增函數(shù),所以h(x)=0至多有一解.(13分)
因?yàn)閔(I)=0,所以方程的解為(X2)=1,即
m+
m2+4m
2
=1
,
解得 m=
1
2
(14分)
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式、方程的解等基本知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,分類與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
2x
x+2
,證明:當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0.
(Ⅱ)從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張,然后放回,用這種方式連續(xù)抽取20次,設(shè)抽到的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為p,證明:p<(
9
10
)19
1
e2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x-1)+
2a
x
(a∈R)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果當(dāng)x>1,且x≠2時(shí),
ln(x-1)
x-2
a
x
恒成立,則求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)-
2x
的零點(diǎn)為x0,若x0∈(k,k+1),k為整數(shù),則k的值等于
-1或1
-1或1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•湖北模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+a)-x2
(1)若a=0,求f(x)在(0,m](m>0)上的最大值g(m).
(2)若f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),求a的取值范圍.
(3)若直線y=x為函數(shù)f(x)的圖象的一條切線,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=ln,則函數(shù)f()+f()的定義域?yàn)開______.

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