Question

已知曲線f（x）=3mx+sinx上存在相互垂直的兩條切線，則實(shí)數(shù)m的值為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象上存在互相垂直的切線，不妨設(shè)在x=k與x=n處的切線互相垂直則（3m+cosk）（3m+cosn）=-1，然后整理，根據(jù)m的值必然存在，△≥0可求出m的值．

解答： 解：∵f（x）=3mx+sinx，
∴f′（x）=3m+cosx，
函數(shù)f（x）=3mx+sinx的圖象上存在互相垂直的切線，
不妨設(shè)在x=k與x=n處的切線互相垂直，
則（3m+cosk）（3m+cosn）=-1
∴9m²+3（cosk+cosn）m+（coskcosn+1）=0   （*）
因?yàn)閙的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以
判別式△=9（cosk+cosn）²-36（coskcosn+1）≥0
所以  cos²k+cos²n-2coskcosn=（cosk-cosn）²≥4
解得cosk-cosn≥2  或   cosk-cosn≤-2
由于|cosx|≤1，所以有cosk=1，cosn=-1  或 cosk=-1，cosn=1，且△=0
所以（*）變?yōu)椋簃²=0所以m=0
故答案為：0

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及判別式判定方程的根，同時(shí)考查了函數(shù)與方程的思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．