邊長為2的菱形ABCD中,∠A=60°,沿BD折成直二面角,過點A作PA⊥平面ABD,且AP=2
3

(Ⅰ)求證:PA∥平面DBC;
(Ⅱ)求直線PC與平面DBC所成角的大。
分析:(I)取BD的中點O,連接CO,可得等邊△BCD中O⊥BD.根據(jù)面面垂直判定定理,由平面DBC⊥平面ABD證出CO⊥平面ABD,結(jié)合PA⊥平面ABD可得CO∥PA,最后根據(jù)線面平面的判定定理,即可證出PA∥平面DBC;
(II)根據(jù)題意,得O、A、P、C四點共面,因此連接AO并延長交PC的延長線于H.由平面DBC⊥平面ABD,證出AH⊥平面BCD,從而得到∠HCO即直線PH平面BCD所成的角.Rt△HCO中,利用正切的定義求得∠HCO=45°,即直線PC與平面DBC所成角的大小為45°.
解答:解:(Ⅰ)取BD的中點O,連接CO,則
等邊△BCD中,可得CO⊥BD.   …(1分)
又∵平面DBC⊥平面ABD,平面DBC∩平面ABD=BD,
CO?平面DBC,CO⊥BD
∴CO⊥平面ABD.        …(3分)
又∵AP⊥平面ABD,∴CO∥PA.        …(4分)
∵CO?平面DBC,PA?平面DBC
∴PA∥平面DBC. …(7分)
(Ⅱ)∵CO∥PA,
∴O、A、P、C四點共面.
連接AO并延長交PC的延長線于H.
∵平面DBC⊥平面ABD,平面DBC∩平面ABD=BD,AH⊥BD,
∴AH⊥平面BCD,
∴直線CO即直線PH在平面BCD內(nèi)的射影,可得∠HCO即直線PH平面BCD所成的角. …(10分)
∵CO∥PA且OC=
1
2
PA
,可得OC是△PAH的中位線.
OH=OA=
3

又∵OC=
3
,可得Rt△HCO中,tan∠HCO=
HO
OC
=1
∴∠HCO=45°,即直線PC與平面DBC所成角為45°…(14分)
點評:本題給出平面折疊問題,求證線面平行并求直線與平面所成角的大小,著重考查了線面垂直、線面平行的判定定理和直線與平面所成角求法等知識,屬于中檔題.
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精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形,∠ABC=60°,點M是棱PC的中點,PA⊥平面ABCD,AC、BD交于點O.
(1)已知:PA=
2
,求證:AM⊥平面PBD;
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21
7
,求PA的長.

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(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若PA=PC,PB=3,∠ABC=60°,求四棱錐P-ABCD的體積.

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如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,Q是PA的中點,BD⊥CQ,PA=PC,PB=3,∠ABC=60°.
(1)求證:PC∥平面BDQ; 
(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

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