Question

已知x＞1，y＞1且2log_xy-2log_yx+3=0，記M=x²-4y²．
（1）求出M關(guān)于x的函數(shù)解析式f（x），并求其值域；
（2）解關(guān)于t的方程f（t²+2）=f（3t）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)n=log_xy，根據(jù)題意可得n＞0，以及得到2n²+3n-2=0，求出n的數(shù)值即可得到y(tǒng)²=x，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案．
（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：t²+2=3t或者（t²+2）+（3t）=4，即可求出t的值，再根據(jù)函數(shù)的定義域得到方程的解．

解答：解：（1）設(shè)n=log_xy，
因?yàn)閤＞1，y＞1，所以n＞0．
因?yàn)?log_xy-2log_yx+3=0，
所以可得2n²+3n-2=0，解得：n=

1

2

或者n=-2（舍去），
所以log_xy=

1

2

，即y²=x，
所以M=x²-4y²=x²-4x，即f（x）=x²-4x，（x＞1），
根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)可得：f（x）∈[-3，+∞），即值域?yàn)閇-3，+∞）．
（2）由（1）并且結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：t²+2=3t或者（t²+2）+（3t）=4，
解得t=1，t=2，t=

-3+ 17

2

，t=

-3- 17

2

．
又因?yàn)閒（x）=x²-4x，（x＞1），
所以t²+2≥-3，并且3t≥-3，解得：t≥-1．
所以方程的解為t=1，t=2，t=

-3+ 17

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法與一元二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，此題屬于中檔題型．