Question

【題目】設(shè)n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.

(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；

(2)證明：對任意正整數(shù)n，f(n)是8的倍數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由 分別取，能求出的值．
（2）利用用數(shù)學(xué)歸納法能證明對任意正整數(shù)是8的倍數(shù)．

試題解析：(1)解　代入1，2，3，求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368.

(2)證明�、佼�(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝8是8的倍數(shù)，命題成立.

②假設(shè)當(dāng)n＝k，k∈N*時(shí)，命題成立，即f(k)＝3k＋7k－2是8的倍數(shù)，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

f(k＋1)＝3k＋1＋7k＋1－2＝3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)，

因?yàn)?k＋1是偶數(shù)，所以4(7k＋1)是8的倍數(shù)，

又由歸納假設(shè)知3(3k＋7k－2)是8的倍數(shù)，

所以f(k＋1)是8的倍數(shù)，

所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立.

根據(jù)①②知，命題對任意n∈N*成立