Question

在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=1- 2 2 t y=4- 2 2 t

（t為參數(shù)）．再以原點為極點，以x正半軸為極軸建立極坐標系，并使得它與直角坐標系xOy有相同的長度單位．在該極坐標系中圓C的方程為ρ=4sinθ．
（1）求圓C的直角坐標方程；
（2）設圓C與直線l交于點A、B，若點M的坐標為（-2，1），求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：對第（1）問，先將方程ρ=4sinθ的兩邊同時乘以ρ，得ρ²=4ρsinθ，再利用極坐標與直角坐標的互化公式，可得圓C的直角坐標方程；
對第（2）問，先驗證點M在直線l上，由已知點M寫出l的參數(shù)方程，再將此參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程中，得到關于t的一元二次方程，根據(jù)韋達定理及直線參數(shù)方程的幾何含義可探求|MA|+|MB|的值．

解答：解：（1）方程ρ=4sinθ的兩邊同時乘以ρ，得ρ²=4ρsinθ，
將極坐標與直角坐標互化公式

ρ2=x2+y2 ρsinθ=y

代入上式，
整理得圓C的直角坐標方程為x²+y²-4y=0．
（2）由

x=1- 2 2 t y=4- 2 2 t

消去t，得直線l的普通方程為y=x+3，
因為點M（-2，1）在直線l上，可設l的標準參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

，
代入圓C的方程中，得t2-3

2

t+1=0．
設A，B對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，由韋達定理，得t1+t2=3

2

＞0，t₁t₂=1＞0，
于是|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=t1+t2=3

2

，
即|MA|+|MB|=3

2

．

點評：1．極坐標方程化直角坐標方程，一般通過兩邊同時平方，兩邊同時乘以ρ等方式，構造或湊配ρ²，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式轉(zhuǎn)化．常見互化公式有ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=

y

x

（x≠0）等．
2．參數(shù)方程化普通方程，關鍵是消參，常見消參方式有：代入法，兩式相加、減，兩式相乘、除，方程兩邊同時平方等．
3．運用參數(shù)方程解題時，應熟練參數(shù)方程中各量的含義，即過定點M₀（x₀，y₀），且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

，參數(shù)t表示以M₀為起點，直線上任意一點M為終點的向量

M0M

的數(shù)量，即當

M0M

沿直線向上時，t=|

M0M

|；當

M0M

沿直線向下時，t=-|

M0M

|．