【題目】如圖所示是一個幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖、側(cè)視圖(其中正視圖為直角梯形,俯視圖為正方形,側(cè)視圖為直角三角形,尺寸如圖所示).
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)證明:BD∥平面PEC;
(3)線段BC上是否存在點M,使得AE⊥PM?若存在,請說明其位置,并加以證明;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析.
【解析】
(1)結(jié)合三視圖,得到四棱錐P﹣ABCD的相關(guān)棱長,從而求出體積;(2)連接AC交BD于O點,取PC中點F,連接OF,要證明BD∥平面PEC,只需證明BD平行平面PEC內(nèi)的直線EF即可;(3)連接BP,要證AE⊥PM,只需證明AE⊥平面PBM,即可證明AE⊥PM.
(1)由幾何體的三視圖可知,底面ABCD是邊長為4的正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,
且PA=4,BE=2,AB=AD=CD=CB=4,∴VP﹣ABCD=PA×SABCD=×4×4×4=.
(2)證明:連接AC交BD于O點,取PC中點F,連接OF,∵EB∥PA,且EB=PA,
又OF∥PA,且OF=PA,∴EB∥OF,且EB=OF,∴四邊形EBOF為平行四邊形,
∴EF∥BD.又EF平面PEC,BD平面PEC,所以BD∥平面PEC.
(3)連接BP,∵==,∠EBA=∠BAP=90°,
∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA,∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°,
∴PB⊥AE.又∵BC⊥平面APEB,∴BC⊥AE,且PB BC=B
∴AE⊥平面PBC,點M在線段BC上∴AE⊥PM.
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【題目】已知常數(shù)項為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,其中為常數(shù).
(1)當時,求的最大值;
(2)若在區(qū)間(為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值為,求的值.
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【題目】隨機抽取某校高一100名學(xué)生的期末考試英語成績(他們的英語成績都在80分140分之間),將他們的英語成績(單位:分)分成:,,,,六組,得到如圖所示的部分頻率分布直方圖,已知成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻數(shù)之和等于成績處于內(nèi)的頻數(shù),根據(jù)圖中的信息,回答下列問題:
(1)求頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和;
(2)求成績處于內(nèi)與內(nèi)的頻率之差;
(3)用分層抽樣的方法從成績不低于120分的學(xué)生中選取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任選2人,求這2人中恰有一人成績低于130分的概率.
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【題目】已知橢圓: 過點,且兩個焦點的坐標分別為, .
(1)求的方程;
(2)若, , 為上的三個不同的點, 為坐標原點,且,求證:四邊形的面積為定值.
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【題目】甲乙兩地的高速公路全長166千米,汽車從甲地進入該高速公路后勻速行駛到乙地,車速(千米/時).已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分為,固定部分為220元.
(1)把全程運輸成本(元)表示為速度(千米/時)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;
(2)汽車應(yīng)以多大速度行駛才能使全程運輸成本最?最小運輸成本為多少元?(結(jié)果保留整數(shù))
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【題目】為了了解我市參加2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的學(xué)生考試結(jié)果情況,從中選取60名同學(xué)將其成績(百分制,均為正數(shù))分成六組后,得到部分頻率分布直方圖(如圖),觀察圖形,回答下列問題:
(1)求分數(shù)在內(nèi)的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計本次考試成績的眾數(shù)、均值;
(3)根據(jù)評獎規(guī)則,排名靠前10%的同學(xué)可以獲獎,請你估計獲獎的同學(xué)至少需要所少分?
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【題目】在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,AB=AC,平面BB1C1C⊥底面ABCD,點M、F分別是線段AA1、BC的中點.
(1)求證:AF⊥DD1;
(2)求證:AF∥平面MBC1.
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【題目】平面上有n個點,任意三點不共線,任意兩點之間連一條線段,并將每條線段染為紅色與藍色之一,稱三邊顏色相同的三角形為“同色三角形”.記同色三角形的個數(shù)為S.
(1)若,對于所有可能的染法,求S的最小值;
(2)若(整數(shù)),對于所有可能的染法,求S的最小值.
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【題目】據(jù)統(tǒng)計,僅在北京地區(qū)每天就有500萬單快遞等待派送,近5萬多名快遞員奔跑在一線,快遞網(wǎng)點人員流動性也較強,各快遞公司需要經(jīng)常招聘快遞員,保證業(yè)務(wù)的正常開展.下面是50天內(nèi)甲、乙兩家快遞公司的快遞員每天送貨單數(shù)統(tǒng)計表:
送貨單數(shù) | 30 | 40 | 50 | 60 | |
天數(shù) | 甲 | 10 | 10 | 20 | 10 |
乙 | 6 | 14 | 24 | 6 |
已知這兩家快遞公司的快遞員日工資方案分別為:甲公司規(guī)定底薪元,每單抽成元;乙公司規(guī)定底薪元,每日前單無抽成,超過單的部分每單抽成元.
(1)分別求甲、乙快遞公司的快遞員的日工資(單位:元)與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)小趙擬到甲、乙兩家快遞公司中的一家應(yīng)聘快遞員的工作,如果僅從日收入的角度考慮,以這50天的送貨單數(shù)為樣本,將頻率視為概率,請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為他作出選擇,并說明理由.
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