Question

設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù).
（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；
（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）
（2）當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

（1）∵，考慮到函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015602022535.png" style="vertical-align:middle;" />，故，進(jìn)而解得
，即在上是單調(diào)減函數(shù). 同理，在上是單調(diào)增函數(shù).
由于在是單調(diào)減函數(shù)，故，從而，即.
令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
又在上有最小值，所以，即，
綜上所述，.
（2）當(dāng)時(shí)，必是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，
解得，即，
∵在上是單調(diào)函數(shù)，類似（1）有，即，
綜合上述兩種情況，有.
①當(dāng)時(shí)，由以及，得存在唯一的零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，由于，，且函數(shù)在上的圖象不間斷，∴在是單調(diào)增函數(shù)，∴在上存在零點(diǎn). 另外，當(dāng)時(shí)，，則在上是單調(diào)增函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn).
③當(dāng)時(shí)，令，解得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. ∴是的最大值點(diǎn)，且最大值為.
1)當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).
2)當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn). 實(shí)際上，對(duì)于，由于，，且函數(shù)在上的圖象不間斷，∴在上存在零點(diǎn).
另外，當(dāng)時(shí)，，故在上是單調(diào)增函數(shù)，∴在上有一個(gè)零點(diǎn).
下面需要考慮在上的情況，先證，
為此，我們要證明：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，再設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，∴在上是單調(diào)增函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，，從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)
時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)，即時(shí)，，又，且函數(shù)
在的圖象不間斷，∴在上存在零點(diǎn).
又當(dāng)時(shí)，，故在是單調(diào)減函數(shù)，所以，在上只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
【考點(diǎn)定位】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)、方程及不等式的相互轉(zhuǎn)化，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題及推理論證能力.