Question

定義在R上的增函數(shù)y=f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（3）求滿足不等式f（x²+2）+f[-3x]＜0的x的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)題意，令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），變形可得f（0），
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），由（1）可得f（0）=0，即可得0=f（x）+f（-x），可得證明；
（3）根據(jù)題意，由f（x）的奇偶性與單調性，可將f（x²+2）+f[-3x]＜0變形為f（x²+2）＜f[3x]，進而可得x²+2＜3x，解得x的取值范圍．

解答： 解：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），
則f（0）=0，
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，則有0=f（x）+f（-x），
即可證得f（x）為奇函數(shù)；
（3）因為f（x）在R上時增函數(shù)，又由（2）知f（x）是奇函數(shù)，
f（x²+2）+f[-3x]＜0可化為：f（x²+2）＜-f[-3x]=f[3x]，
即x²+2-3x＜0，
解得：x∈（1，2）

點評：本題考查函數(shù)的恒成立問題與抽象函數(shù)的應用，關鍵是用賦值法求出f（0），進而來判斷函數(shù)的奇偶性．