Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx在（0，π）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [-1，+∞）
• B． （-∞，-1]
• C． （-∞，0）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 首先利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步分離參數(shù)法，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的求得函數(shù)的最小值，即可求出函數(shù)中a的取值范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+acosx在（0，π）上是增函數(shù)，
∴f′（x）=cos2x-asinx≥0，
∴1-2sin²x-asinx≥0，
設(shè)t=sinx，t∈（0，1]，
即-2t²-at+1≥0，t∈（0，1]，
∴a≤-2t+$\frac{1}{t}$，
令g（t）=-2t+$\frac{1}{t}$，
則g′（t）=-2-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，
∴g（t）在（0，1]遞減，
∴a≤g（1）=-1，
∴a≤-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，參數(shù)的取值范圍的確定，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．