【題目】(14分)在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),PA=2AB=2.
(Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積V;
(Ⅱ)若F為PC的中點(diǎn),求證PC⊥平面AEF;
(Ⅲ)求證CE∥平面PAB.
【答案】(Ⅰ)V=.
(Ⅱ)略
(Ⅲ)略
【解析】解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,
∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.
在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,
∴CD=2,AD=4.
∴SABCD=
.……………… 3分
則V=. ……………… 5分
(Ⅱ)∵PA=CA,F為PC的中點(diǎn),
∴AF⊥PC. ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.
∵E為PD中點(diǎn),F為PC中點(diǎn),
∴EF∥CD.則EF⊥PC. ……… 9分
∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.…… 10分
(Ⅲ)證法一:
取AD中點(diǎn)M,連EM,CM.則EM∥PA.
∵EM 平面PAB,PA平面PAB,
∴EM∥平面PAB. ……… 12分
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,
∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB.
∵MC 平面PAB,AB平面PAB,
∴MC∥平面PAB. ……… 14分
∵EM∩MC=M,
∴平面EMC∥平面PAB.
∵EC平面EMC,
∴EC∥平面PAB. ……… 15分
證法二:
延長(zhǎng)DC、AB,設(shè)它們交于點(diǎn)N,連PN.
∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,
∴C為ND的中點(diǎn). ……12分
∵E為PD中點(diǎn),∴EC∥PN.……14分
∵EC 平面PAB,PN 平面PAB,
∴EC∥平面PAB. ……… 15分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(2)當(dāng)且,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線, ,則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 把上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
B. 把上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線
C. 把曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線
D. 把曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩神坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同.已知曲線的極坐標(biāo)方程為, .
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在曲線上求一點(diǎn),使它到直線: (為參數(shù))的距離最短,寫(xiě)出點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4—5:不等式選講]
已知.
(1)若的解集為,求的值;
(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺(tái)中, , 分別是, 的中點(diǎn), 平面, 是等邊三角形, , ,.
(1)證明: 平面;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè)與的交點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí), 的軌跡為曲線.
(1)寫(xiě)出的普遍方程及參數(shù)方程;
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為, 為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是,橢圓C的上頂點(diǎn)到直線的距離為,過(guò)且垂直于x軸的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),
且|MN|=1。
(I)求橢圓的方程;
(II)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)),且,求直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.
(1)求二面角F-BE-D的余弦值;
(2)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.
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