已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x∈（0，1）時，f（x）=
2x
4x+1
．
（1）求y=f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）證明：y=f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調性的判斷與證明
專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質及應用
分析：（1）由奇函數(shù)的定義，可得f（0）=0，當-1＜x＜0時，則0＜-x＜1，由已知解析式，化簡整理結合奇函數(shù)的定義即可得到所求；
（2）運用單調性的定義證明，注意取值、作差、變形和定符號、下結論幾個步驟．
解答： （1）解：y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，
當-1＜x＜0時，則0＜-x＜1，則有f（-x）=
2-x
4-x+1
=
2x
4x+1
，
又f（-x）=-f（x），
則f（x）=-
2x
4x+1
，（-1＜x＜0），
則y=f（x）在（-1，1）上的解析式為f（x）=
-
2x
4x+1
，-1＜x＜0
0，x=0
2x
4x+1
，0＜x＜1
；
（2）證明：設0＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=
2m
4m+1
-
2n
4n+1

=
2m+2n+2m-22m+n-2n
(4m+1)(4n+1)
=
(2n-2m)(2m+n-1)
(4m+1)(4n+1)
，
由于0＜m＜n＜1，則2m＜2n，2m+n＞1，即有2n-2m＞0，2m+n-1＞0，
則f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
則y=f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷和證明以及運用，考查函數(shù)解析式的求法，考查定義法的運用，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=loga（2-ax）在（-∞，1]上單調遞減，則a的取值范圍是（　�。�
A、（1，2）
B、（0，1）
C、（0，1）∪（1，2）
D、（0，1）∪（2，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-y2=1（a＞0）的左焦點與拋物線y2=-12x的焦點重合，則此雙曲線的漸近線方程是（　　）
A、y=±
2
4
x
B、y=±
10
10
x
C、y=±2
2
x
D、y=±
10
x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平行四邊形ABCD中，
AB
=a，
AD
=b．
（1）如圖1，如果E、F分別是BC，DC的中點，試用a、b分別表示
BF
、
DE
．
（2）如圖2，如果O是AC與BD的交點，G是DO的中點，試用a，b表示
AG
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），有如下結論：
①?x∈（-1，1），有f（-x）=f（x）；
②?x∈（-1，1），有f（-x）=-f（x）；
③?x1，x2∈（-1，1），有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
④?x1，x2∈（0，1），有f（
x1+x2
2
）≤
f(x1)+f(x2)
2
．
其中正確結論的序號是
 
．（寫出所有正確結論的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)，則有（　�。�
A、f（0）=g（0）
B、f（0）＞g（0）
C、f（0）＜g（0）
D、無法比較

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=2x2+3ax+1，其中a＞0．
（1）若f（x）在x≥1上是單調函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若f（0）=g（0），求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），x≥1的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是（　�。� 
 
A、
1
6
B、
25
24
C、
3
4
D、
11
12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a=1.270.2，b=log0.3（tan46°），c=2sin29°，則a，b，c的大小關系是（　�。�
A、a＞b＞c
B、c＞a＞b
C、b＞a＞c
D、a＞c＞b

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