Question

（本小題滿分1２分）
設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，已知對(duì)任意，是和的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明；
（Ⅲ）設(shè)集合，，且，若存在∈，使對(duì)滿足的一切正整數(shù)，不等式恒成立，求這樣的正整數(shù)共有多少個(gè)？

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，，且． ………………………1分
當(dāng)時(shí)，，解得．   ……………………………2分
當(dāng)時(shí)，有．
于是，即．
于是，即．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/36/1/1pkrr4.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．
故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，且．……………………4分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d4/5/usyeu2.gif" style="vertical-align:middle;" />，則，…………………………………5分
所以…7分
（Ⅲ）由，得，所以． …… 9分
由題設(shè)，，，…，，，，…，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/da/7/1vmnv2.gif" style="vertical-align:middle;" />∈M，所以，，…，均滿足條件．…………………10分
且這些數(shù)組成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．                                                                     
設(shè)這個(gè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，則，解得．
故集合M中滿足條件的正整數(shù)共有450個(gè)．…………………………12分

解析