Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)=x²+2x+b(x∈R)的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(Ⅱ)求圓C的方程；
(Ⅲ)問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：(Ⅰ)顯然b≠0．
否則，二次函數(shù)f(x)=x²+2x+b的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)(0，0)，（-2，0），
這與題設(shè)不符，
由b≠0知，二次函數(shù)f(x)=x²+2x+b的圖象與y軸有一個(gè)非原點(diǎn)的交點(diǎn)(0，b)，
故它與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，
從而方程x²+2x+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
因此方程的判別式4-4b＞0，即b＜1，
所以b的取值范圍是(-∞，0)∪(0，1)．
(Ⅱ)由方程x²+2x+b=0，得，
于是，二次函數(shù)f(x)=x²+2x+b的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是，
設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
因圓C過上述三點(diǎn)，將它們的坐標(biāo)分別代入圓C的方程，得
，
解上述方程組，因b≠0，得，
所以，圓C的方程為x²+y²+2x-(b+1)y+b=0。
(Ⅲ)圓C過定點(diǎn)．
證明如下：假設(shè)圓C過定點(diǎn)(x₀，y₀)（x₀，y₀不依賴于b），
將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，并變形為x₀²+y₀²+2x₀-y₀+b（1-y₀）=0，（*）
為使(*)式對所有滿足b＜1(b≠0)的b都成立，
必須有1-y₀=0，結(jié)合(*)式得x₀²+y₀²+2x₀-y₀=0，
解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0，1)，（-2，1）均在圓C上．
因此，圓C過定點(diǎn)．