Question

【題目】已知指數(shù)函數(shù)滿足:，定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

(1)求的值；

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義加以證明；

(3)若對任意的 ，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)依題意設(shè)（或），由可求出值，再根據(jù)奇函數(shù)的定義可得，，，即可求出；

(2) 按照單調(diào)性定義證明的步驟，取值－作差－變形－定號－下結(jié)論，即可證出；

(3)根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可將轉(zhuǎn)化為，再利用分離參數(shù)法將分離，轉(zhuǎn)化去求在上的最小值，即可求出的取值范圍．

(1)依題意設(shè)（或），由得，，解得，

所以，．

是R上的奇函數(shù)，， 即，所以，

又，即，解得，檢驗符合題意．

，

是R上的減函數(shù)．理由如下：

設(shè)，則

，，所以，即．

故是R上的減函數(shù)．

(3)

，

是R上的奇函數(shù)，，

是R上的減函數(shù)，，因為，

，對任意的 恒成立，因為當(dāng)且僅當(dāng)時卻等號，∴．