Question

（2012•孝感模擬）如圖，曲線C₁是以原點(diǎn)O為中心，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓的一部分．曲線C₂是以O(shè)為頂點(diǎn)，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點(diǎn)且∠AF₂F₁為鈍角，若|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

．
（I）求曲線C₁和C₂的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)C是C₂上一點(diǎn)，若|CF₁|=

2

|CF₂|，求△CF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（I）設(shè)曲線C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則根據(jù)|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

，可得a=3，設(shè)A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則（x+c）²+y²=

49

4

，（x-c）²+y²=

25

4

，由此可求曲線C₁和C₂的方程；
（II）過點(diǎn)F₁作直線l垂直于x軸，過點(diǎn)C作直線CC₁⊥l于點(diǎn)C₁，依題意知l為拋物線C2的準(zhǔn)線，則|CC₁|=|CF₂|，在△CF₁F₂中，設(shè)|CF₂|=r，則|CF₁|=

2

r，|F₁F₂|=2，由余弦定理可得r=2，再利用三角形的面積公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）設(shè)曲線C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則2a=|AF1|+|AF2|=

7

2

+

5

2

=6得a=3
設(shè)A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則（x+c）²+y²=

49

4

，（x-c）²+y²=

25

4

兩式相減可得：xc=

3

2

由拋物線定義可知|AF₂|=x+c=

5

2

∴c=1，x=

3

2

或x=1，c=

3

2

（舍去）
所以曲線C₁的方程為

x2

9

+

y2

8

=1(-3≤x≤

3

2

)，C₂的方程為y²=4x（0≤x≤

3

2

）；
（II）過點(diǎn)F₁作直線l垂直于x軸，過點(diǎn)C作直線CC₁⊥l于點(diǎn)C₁，依題意知l為拋物線C₂的準(zhǔn)線，則|CC₁|=|CF₂|
在直角△CC₁F₁中，|CF₁|=

2

|CC₁|，∠C₁CF₁=45°
∵∠CF₁F₂=∠C₁CF₁=45°
在△CF₁F₂中，設(shè)|CF₂|=r，則|CF₁|=

2

r，|F₁F₂|=2
由余弦定理可得2²+2r²-2×2×

2

rcos45°=r²，
∴r=2
∴S_△CF1F2=

1

2

×2×2

2

sin45°=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓，拋物線方程的求法，考查三角形面積的計(jì)算，求得方程是關(guān)鍵．