【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n﹣3,n∈N*
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求a1的值;
(2)當(dāng)a1=﹣3時(shí),求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)若對(duì)任意的n∈N* , 都有 ≥5成立,求a1的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵an+1+an=4n﹣3,n∈N*,∴a2+a1=1,a3+a2=5,

∴a3﹣a1=5﹣1=4,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則2d=4,解得d=2.

∴2a1+2=1,解得a1=﹣


(2)解:∵an+1+an=4n﹣3,an+2+an+1=4n+1,∴an+2﹣an=4,a2=4.

∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列,公差都為4.

∴a2k1=﹣3+4(k﹣1)=4k﹣7;a2k=4+4(k﹣1)=4k.

∴an=

∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=(a1+a2)+…+(an1+an)=﹣3+9+…+(4n﹣3)= =

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=Sn+1﹣an+1= ﹣2(n+1)=

∴Sn=


(3)解:由(2)可知:an=

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=2n﹣2+a1,an+1=2n﹣1﹣a1,

≥5成立,an+1+an=4n﹣3,可得: ﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10,

令f(n)=﹣4n2+16n﹣10=﹣4(n﹣2)2+6,當(dāng)n=1或3時(shí),[f(n)]max=2,∴ ﹣a1≥2,解得a1≥2或a1≤﹣1.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=2n﹣3﹣a1,an+1=2n+a1

≥5成立,an+1+an=4n﹣3,可得: +3a1≥﹣4n2+16n﹣12,

令g(n)=﹣4n2+16n﹣12=﹣4(n﹣2)2+4,當(dāng)n=2時(shí),[f(n)]max=4,∴ +3a1≥4,解得a1≥1或a1≤﹣4.

綜上所述可得:a1的取值范圍是(﹣∞,﹣4]∪[2,+∞).


【解析】(1)由an+1+an=4n﹣3,n∈N* , 可得a2+a1=1,a3+a2=5,相減可得a3﹣a1=5﹣1=4,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,可得2d=4,解得d.(2)由an+1+an=4n﹣3,an+2+an+1=4n+1,可得an+2﹣an=4,a2=4.可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列,公差都為4.對(duì)n分類討論利用等差數(shù)列的求和公式即可得出.(3)由(2)可知:an= .當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=2n﹣2+a1 , an+1=2n﹣1﹣a1 , 由 ≥5成立,an+1+an=4n﹣3,可得: ﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10,令f(n)=﹣4n2+16n﹣10,求出其最大值即可得出.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),同理可得.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等差關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和,掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)若直線 與曲線分別交于兩點(diǎn).設(shè)曲線

在點(diǎn)處的切線為 在點(diǎn)處的切線為.

(。┊(dāng)時(shí),若 ,求的值;

(ⅱ)若,求的最大值;

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn) ,且

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(1)現(xiàn)從乙班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于 分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué),求至少有一名成績(jī)?yōu)?/span> 分的同學(xué)被抽中的概率;

(2)學(xué)校規(guī)定:成績(jī)不低于 分的優(yōu)秀,請(qǐng)?zhí)顚懴旅娴?/span>聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.

附:參考公式及數(shù)據(jù)

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(3)若函數(shù)f(x)兩個(gè)不同的零點(diǎn)均大于 ,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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做不到“光盤”行動(dòng)

做到“光盤”行動(dòng)

45

10

30

15

P(K2≥k0

0.10

0.05

0.025

k0

2.706

3.841

5.024

經(jīng)計(jì)算:K2= ≈3.03,參考附表,得到的正確結(jié)論是(
A.有95%的把握認(rèn)為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別有關(guān)”
B.有95%的把握認(rèn)為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別無(wú)關(guān)”
C.有90%的把握認(rèn)為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別有關(guān)”
D.有90%的把握認(rèn)為“該學(xué)生能否做到光盤行到與性別無(wú)關(guān)”

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(1)求圓的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)圓與直線交于點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最小值.

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