Question

18．不等式3${\;}^{{x^2}-3x}}$≤9^3x-4的解集為M，求函數(shù)f（x）=log₂（4x）log₂$\frac{x}{16}$（x∈M）的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)的基本運(yùn)算求解M，在根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)利用x∈M計(jì)算值域即可．

解答 解：由題意3${\;}^{{x^2}-3x}}$≤9^3x-4，可得：x²-3x≤6x-8；
解得：1≤x≤8．
故得M={x|1≤x≤8}．
∵函數(shù)f（x）=log₂（4x）log₂$\frac{x}{16}$=（log₂4+log₂x）（log₂x-log₂16）
令log₂x=t，
∵x∈M
∴t∈[0，3]
那么：f（t）=（2+x）（x-4）=x²-2x-8．
開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=1，
當(dāng)x=1時(shí)，取得最小值為-9，
當(dāng)x=3時(shí)，取得最大值為-5．
所以：函數(shù)f（x）的值域[-9，-5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)的計(jì)算，利用換元法，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)都值域．屬于中檔題．