(2013•嘉定區(qū)二模)函數(shù)f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且≠1)是定義域為R的奇函數(shù).
(1)求k值;
(2)若f(1)<0,試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f(0)=0,由此求得k值.
(2)由f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),f(1)<0,求得1>a>0,f(x)在R上單調(diào)遞減,不等式化為f(x2+tx)<f(x-4),即x2+(t-1)x+4>0 恒成立,由△<0求得t的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù),∴f(0)=0,
∴1-(k-1)=0,∴k=2.
當k=2時,f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),∴f(-x)=-f(x)成立
∴f(x)是定義域為R的奇函數(shù);
(2)函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),
∵f(1)<0,∴a-
1
a
<0,
∵a>0,∴1>a>0.
由于y=ax單調(diào)遞減,y=a-x單調(diào)遞增,故f(x)在R上單調(diào)遞減.
不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0,可化為f(x2+tx)<f(x-4).
∴x2+tx>x-4,即x2+(t-1)x+4>0 恒成立,
∴△=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5.
點評:本題考查指數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)以及應用,考查函數(shù)的奇偶性的應用,屬于中檔題.
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