Question

已知頂點為原點O的拋物線C₁的焦點F與橢圓C2： 

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右焦點重合C₁與C₂在第一和第四象限的交點分別為A、B．
（1）若△AOB是邊長為2

3

的正三角形，求拋物線C₁的方程；
（2）若AF⊥OF，求橢圓C₂的離心率e；
（3）點P為橢圓C₂上的任一點，若直線AP、BP分別與x軸交于點M（m，0）和N（n，0），證探究：當(dāng)a為常數(shù)時，mn是否為定值？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì),拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定點A的坐標(biāo)是(3，

3

)，代入拋物線的方程y²=4cx，求出c，即可求得拋物線C₁的方程；
（2）若AF⊥OF，可求A的坐標(biāo)，代入拋物線的方程y²=4cx，結(jié)合b²=a²-c²，即可求橢圓C₂的離心率e；
（3）利用直線PA、PB的方程，令y=0得m，n的值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的右焦點為F（c，0），依題意得拋物線的方程為y²=4cx…（1分）
∵△AOB是邊長為2

3

的正三角形，
∴點A的坐標(biāo)是(3，

3

)，…（3分）
代入拋物線的方程y²=4cx解得c=

1

4

，
故所求拋物線C₁的方程為y²=x…（4分）
（2）∵AF⊥OF，∴點A的橫坐標(biāo)是c
代入橢圓方程解得y=±

b2

a

，即點A的坐標(biāo)是(c，

b2

a

)…（5分）
∵點A在拋物線y²=4cx上，
∴

b4

a2

=4c2 ， 即b2=2ac，…（6分）
將b²=a²-c²代入上式整理得：(

c

a

)2+2•

c

a

-1=0，
即e²+2e-1=0，解得e=-1±

2

…（7分）
∵0＜e＜1，故所求橢圓C₂的離心率e=

2

-1．               …（8分）
（3）證明：設(shè)P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），B（x₂，-y₂），
代入橢圓方程得

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1 ， 

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1…（9分）
而直線PA的方程為（x₂-x₁）（y-y₁）+（x-x₁）（y₁-y₂）=0…（10分）
令y=0得m=

x2y1-x1y2

y1-y2

．                                  …（11分）
在m=

x2y1-x1y2

y1-y2

中，以-y₂代換y₂得n=

x2y1+x1y2

y1+y2

…（12分）
∴mn=

x2y1+x1y2

y1+y2

•

x2y1-x1y2

y1-y2

=

x 2 2 y 2 1 - x 2 1 y 2 2

y 2 1 - y 2 2

=

a2(1- y 2 2 b2 ) y 2 1 -a2(1- y 2 1 b2 ) y 2 2

y 2 1 - y 2 2

=a2
∴當(dāng)a為常數(shù)時，mn是定值．                               …（14分）

點評：本題考查拋物線的方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．