Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，點（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上，且首項a₁=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，請寫出適合條件T_n≤S_n的所有n的值．

Answer 1

分析 （ I）由點（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上，且首項a₁=1．可得a_n+1-a_n=2，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（ II）數(shù)列{a_n}是的前n項和S_n=n²．等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，利用等比數(shù)列的求和公式可得{b_n}的前n項和T_n，代入T_n≤S_n，即可得出．

解答 解：（ I）∵點（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上，且首項a₁=1．
∴a_n+1=a_n+2，∴a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，
a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（ II）數(shù)列{a_n}是的前n項和S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，q=3．
∴b_n=3^n-1．
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．
T_n≤S_n化為：$\frac{{3}^{n}-1}{2}$≤n²，又n∈N^*，所以n=1或2．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式與求和公式，考查了推理能力與就計算能力，屬于中檔題．