Question

如圖，等邊三角形OAB的邊長為8

3

，且其三個頂點均在拋物線C：x²=2py（p＞0）上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設圓M過D（0，2），且圓心M在拋物線C上，EG是圓M在x軸上截得的弦，試探究當M運動時，弦長|EG|是否為定值？為什么？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知B（4

3

，12）在拋物線C：x²=2py（p＞0）上，由此能求出拋物線C的方程．
（2）設圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，令y=0得：x²-2ax+4b-4=0設圓與x軸的兩交點分別為（x₁，0），（x₂，0），不妨設x₁＞x₂，由此推導出當M運動時，弦長|EG|為定值4．

解答： 解：（1）由題意知B（4

3

，12），
且B在拋物線C：x²=2py（p＞0）上，
∴48=24p，解得p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y．
（2）設圓的圓心M（a，b），∵圓M過D（0，2），
∴圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，
令y=0得：x²-2ax+4b-4=0
設圓與x軸的兩交點分別為（x₁，0），（x₂，0）
不妨設x₁＞x₂，
由求根公式得x1=

2a+ 4a2-16b+16

2

，
x2=

2a- 4a2-16b+16

2

…（9分）
∴x1-x2=

4a2-16b+16

又∵點M（a，b）在拋物線x²=4y上，∴a²=4b，…（10分）
∴x1-x2=

16

=4，即|EG|=4，（13分）
∴當M運動時，弦長|EG|為定值4．

點評：本題考查拋物線方程的求法，探究當M運動時，弦長|EG|是否為定值，解題時要注意函數與方程思想的合理運用．