【題目】已知函數(shù)f(x)= 圖象過點(diǎn)(﹣1,2),且在該點(diǎn)處的切線與直線x﹣5y+1=0垂直.
(1)求實(shí)數(shù)b,c的值;
(2)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=f(x)上是否存在兩點(diǎn)P,Q,使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上?

【答案】
(1)解:當(dāng)x<1時(shí),f(x)=﹣x3+x2+bx+c,則f′(x)=﹣3x2+2x+b,

由題意知 ,解得b=c=0


(2)解:假設(shè)曲線y=f(x)上存在兩點(diǎn)P,Q,

使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,

則P,Q只能在y軸的兩側(cè),不妨設(shè)P(t,f(t))(t>0),

則q(﹣t,t3+t2),且t≠1.

因?yàn)椤鱌OQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,所以 =0,

即﹣t2+f(t)(t3+t2)=0,(1)

是否存在點(diǎn)P,Q等價(jià)于方程(1)是否有解,

若0<t<1,則f(t)=﹣t3+t2,代入方程(1)得:t4﹣t2+1=0,此方程無實(shí)數(shù)解.

若t>1,則f(t)=alnt,代入方程(1)得到 =(t+1)lnt,

設(shè)h(x)=(x+1)lnx(x≥1),則h′(x)=lnx+ >0在[1,+∞)上恒成立,

所以h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,從而h(x)≥h(1)=0,

所以當(dāng)a>0時(shí),方程 =(t+1)lnt有解,即方程(1)有解,

所以對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=f(x)上存在兩點(diǎn)P,Q,

使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上


【解析】(1)求得x<1時(shí)f(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,由f(﹣1)=2,解方程可得b,c的值;(2)假設(shè)曲線y=f(x)上存在兩點(diǎn)P,Q,使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,則P,Q只能在y軸的兩側(cè),不妨設(shè)P(t,f(t))(t>0),則q(﹣t,t3+t2),且t≠1.對(duì)t討論,t>1,0<t<1,通過構(gòu)造函數(shù),求得單調(diào)性,考慮方程﹣t2+f(t)(t3+t2)=0有解,即可判斷存在性.

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