Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形， , .

（Ⅰ）若是的中點，求證： 平面；

（Ⅱ）若， ，求三棱錐的高.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接交于,連接.在三角形中,中位線 ,且平面, 平面,∴平面；（Ⅱ）由, 可得與底面垂直，在中，設(shè)的中點為，連接，則是三棱柱的高，計算出三角形與面積，利用可求得點到平面的距離為.

試題解析：

（Ⅰ）連接交于,連接.在三角形中,

中位線 ,

且平面, 平面,

∴平面.

（Ⅱ）在中，設(shè)的中點為，連接，則，又，

∴,又∵，

∴，∴ ，解得.

所以點到平面的距離為： .

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用等積變換求三棱錐的高，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.