對于數(shù)列，把作為新數(shù)列的第一項，把或（）作為新數(shù)列的第項，數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列．例如，數(shù)列的一個生成數(shù)列是．已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項和．
（1）寫出的所有可能值；
（2）若生成數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；
（3）證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為．

（1）（2）（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）列舉出數(shù)列所有可能情況，共種，分別計算和值為，本題目的初步感觀生成數(shù)列（2）已知和項解析式，則可利用求通項. 當(dāng)時，，而當(dāng)且僅當(dāng)時，才成立．所以（3）本題實際是對（1）的推廣.證明的實質(zhì)是確定集合的個數(shù)及其表示形式.首先集合的個數(shù)最多有種情形，而每一種的值都不一樣，所以個數(shù)為種情形，這是本題的難點，利用同一法證明. 確定集合的表示形式，關(guān)鍵在于說明分子為奇數(shù).由得分子必是奇數(shù)，奇數(shù)個數(shù)由范圍確定.
試題解析：解：（1）由已知，，，
∴，
由于，
∴可能值為．                              3分
（2）∵，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，，                         5分
∵是的生成數(shù)列，
∴；；；
∴
在以上各種組合中，
當(dāng)且僅當(dāng)時，才成立．
∴．                          8分
（3）共有種情形．
，即，
又，分子必是奇數(shù)，
滿足條件的奇數(shù)共有個．            10分
設(shè)數(shù)列與數(shù)列為兩個生成數(shù)列，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，從第二項開始比較兩個數(shù)列，設(shè)第一個不相等的項為第項．
由于，不妨設(shè)，
則

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，，對總有成立，
（1）計算的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果猜想數(shù)列的通項，并用數(shù)學(xué)歸納法證明

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列和的通項公式分別為，.將與中的公共項按照從小到大的順序排列構(gòu)成一個新數(shù)列記為.
(1)試寫出，，，的值，并由此歸納數(shù)列的通項公式； 
(2)證明你在（1）所猜想的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè),用表示當(dāng)時的函數(shù)值中整數(shù)值的個數(shù).
(1)求的表達式.
(2)設(shè),求.
(3)設(shè),若,求的最小值.

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若數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”．
(1)設(shè)數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，若a1＝1，a2＝－2，試寫出該數(shù)列的前6項，并求出前6項之和；
(2)在“凸數(shù)列”{an}中，求證：an＋3＝－an，n∈N*；
(3)設(shè)a1＝a，a2＝b，若數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，求數(shù)列前2011項和S2011.

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已知數(shù)列滿足：，且，．
（1）求通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項的和

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已知數(shù)列{an}中,a1=1,前n項和Sn=an.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通項公式.

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若無窮數(shù)列滿足：①對任意，；②存在常數(shù)，對任意，，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
（Ⅰ）若數(shù)列的通項為，證明：數(shù)列為“數(shù)列”；
（Ⅱ）若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：對任意，；
（Ⅲ）若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：存在，數(shù)列為等差數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的前項和為，且滿足．
（1）求的通項公式；
（2）在中是否存在使得是中的項，若存在，請寫出滿足題意的其中一項；若不存在，請說明理由．

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