六人按下列要求站一橫排,分別有多少種不同的站法?
(1)甲不站兩端;
(2)甲、乙必須相鄰;
(3)甲、乙不相鄰;
(4)甲、乙之間間隔兩人;
(5)甲、乙站在兩端;
(6)甲不站左端,乙不站右端.
(1) 480(2)240 (3) 480(4)144(5)48(6)504
(1)方法一 要使甲不站在兩端,可先讓甲在中間4個位置上任選1個,有A種站法,然后其余5人在另外5個位置上作全排列有A種站法,根據(jù)分步計數(shù)原理,共有站法:A·A=480(種).
方法二 由于甲不站兩端,這兩個位置只能從其余5個人中選2個人站,有A種站法,然后中間4人有A種站法,根據(jù)分步計數(shù)原理,共有站法:A·A=480(種).
方法三 若對甲沒有限制條件共有A種站法,甲在兩端共有2A種站法,從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù),即共有站法:A-2A=480(種).
(2)方法一 先把甲、乙作為一個“整體”,看作一個人,和其余4人進行全排列有A種站法,再把甲、乙進行全排列,有A種站法,根據(jù)分步計數(shù)原理,共有A·A=240(種)站法.
方法二 先把甲、乙以外的4個人作全排列,有A種站法,再在5個空檔中選出一個供甲、乙放入,有A種方法,最后讓甲、乙全排列,有A種方法,共有A·A·A=240(種).
(3)因為甲、乙不相鄰,中間有隔檔,可用“插空法”,第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊,有A種站法;第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔(含兩端)中,有A種站法,故共有站法為A·A=480(種).
也可用“間接法”,6個人全排列有A種站法,由(2)知甲、乙相鄰有A·A=240種站法,所以不相鄰的站法有A-A·A=720-240=480(種).
(4)方法一 先將甲、乙以外的4個人作全排列,有A種,然后將甲、乙按條件插入站隊,有3A種,故共有A·(3A)=144(種)站法.
方法二 先從甲、乙以外的4個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上,有A種,然后把甲、乙及中間2人看作一個“大”元素與余下2人作全排列有A種方法,最后對甲、乙進行排列,有A種方法,故共有A·A·A=144(種)站法.
(5)方法一 首先考慮特殊元素,甲、乙先站兩端,有A種,再讓其他4人在中間位置作全排列,有A種,根據(jù)分步計數(shù)原理,共有A·A=48(種)站法.
方法二 首先考慮兩端兩個特殊位置,甲、乙去站有A種站法,然后考慮中間4個位置,由剩下的4人去站,有A種站法,由分步計數(shù)原理共有A·A=48(種)站法.
(6)方法一 甲在左端的站法有A種,乙在右端的站法有A種,且甲在左端而乙在右端的站法有A種,共有A-2A+A=504(種)站法.
方法二 以元素甲分類可分為兩類:①甲站右端有A種站法,②甲在中間4個位置之一,而乙不在右端有A·A·A 種,故共有A+A·A·A=504(種)站法.
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