已知函數(shù)f(x)=e-x+ax,
(Ⅰ)已知x=-1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若a=1,求函數(shù)f(x)的極值;
( III)求證:函數(shù)f(x)的圖象不落在直線y=(a-1)x的下方.
分析:(Ⅰ)因?yàn)閤=-1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),直接由f(1)=0求a的值;
(Ⅱ)代入1后,求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)等于0求x的值,由求得的x值把定義域分段后分析導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào),從而找出極值點(diǎn)并求出極值;
(Ⅲ)構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)-(a-1)x,化簡后利用導(dǎo)函數(shù)求其極小值,從而得到函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)恒大于0,說明函數(shù)f(x)的圖象不落在直線y=(a-1)x的下方.
解答:解:(I)由f(x)=e-x+ax,得:f'(x)=-e-x+a,
因?yàn)閤=-1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),所以f'(-1)=-e+a=0,解得:a=e,
經(jīng)檢驗(yàn) a=e符合條件.
(II) 令f'(x)=-e-x+1=0,得:x=0,
列表如下,

當(dāng)x=0時(shí),f(x)極小值為1.
(III)令g(x)=f(x)-(a-1)x=e-x+x,
令g'(x)=-e-x+1=0,得x=0,
由(Ⅱ)知,函數(shù)g(x)在(-∝,0)上為減函數(shù),在(0,+∝)上為增函數(shù),
所以,函數(shù)g(x)在(-∝,+∞)上有最小值g(0)=1.
所以g(x)≥g(0)=1>0,即f(x)>(a-1)x.
所以,函數(shù)f(x)的圖象不落在直線y=(a-1)x的下方.
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的條件,這里需要注意的是,極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),考查了利用構(gòu)造函數(shù)法判斷兩函數(shù)圖象的高低問題,構(gòu)造函數(shù)是解決此類問題經(jīng)常用到的方法,此題是中檔題.
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1
x
|,則函數(shù)y=f(x+1)的大致圖象為( �。�
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同步練習(xí)冊答案
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