Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足以下三個條件：
①對于任意的x∈R，都有  f（x+1）=

1

f(x)

；
②函數(shù)y=f（x+1）的圖象關于y軸對稱；
③對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）．
則f（

3

2

），f（2），f（3）從小到大排列是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：對任意的x∈R都有f（x+1）=

1

f(x)

得到函數(shù)是一個周期函數(shù)T=2，根據(jù)f（x+1）的圖象關于y軸對稱，得到f（x）的圖象關于x=1對稱．對于任意的0≤x₁＜x₂≤1，都有f（x₁）＞f（x₂），得到函數(shù)在[0，1]上是一個遞減函數(shù)，問題得以解決．

解答： 解：∵f（x+2）=

1

f(x+1)

=f（x），故函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，
∵f（x+1）的圖象關于y軸對稱，
∴f（x）的圖象關于x=1對稱，
∵對于任意的0≤x₁＜x₂≤1，都有f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)在[0，1]上是一個遞減函數(shù)，
∴函數(shù)在[-1，0]上是一個遞增函數(shù)，
∵f（

3

2

）=f（2-0.5）=f（-0.5），f（2）=f（2+0）=f（0），f（3）=f（4-1）=f（-1）
∴f（3）＜f（

3

2

）＜f（2）
故答案為：f（3）＜f（

3

2

）＜f（2）

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題