Question

已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為4，離心率為

5

5

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
（2）若直線(xiàn)L方程為y=x+1，L交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由短軸長(zhǎng)可得b值，由離心率為

5

5

，可得

c

a

=

5

5

，結(jié)合a²=b²+c²即可求得a值；
（2）聯(lián)立方程組消掉y得到x的二次方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得弦長(zhǎng)|MN|．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由橢圓短軸長(zhǎng)為4得2b=4，解得b=2，
由離心率為

5

5

，得

c

a

=

5

5

，即a²=5c²=5（a²-4），解得a²=5，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

5

+

y2

4

=1；
（2）由

y=x+1 x2 5 + y2 4 =1

得9x²+10x-15=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

10

9

，x1x2=-

5

3

，
所以|MN|=

2

•|x₁-x₂|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 10 9 )2-4(- 5 3 )

=

16 5

9

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理是解決該類(lèi)題目的基礎(chǔ)知識(shí)，要熟練掌握．