Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x，a∈R．
（1）令g（x）=f（x）-（ax-1），求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=-2，正實數(shù)x₁，x₂滿足f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=0，證明：x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，然后通過研究不等式的解集確定原函數(shù)的單調(diào)性；（2）結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到要證的結(jié)論．

解答 解：（1）g（x）=f（x）-（ax-1）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1，
所以g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+（1-a）=$\frac{-{ax}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，
當(dāng)a≤0時，因為x＞0，所以g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上是遞增函數(shù)，
當(dāng)a＞0時，g′（x）=$\frac{-a（x-\frac{1}{a}）（x+1）}{x}$，
令g′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，
所以當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，g′（x）＜0，
因此函數(shù)g（x）在x∈（0，$\frac{1}{a}$）是增函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）是減函數(shù)．
綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），無遞減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$），遞減區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，+∞）．
（2）由f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=0，
即lnx₁+x₁²+x₁+lnx₂+x₂²+x₂+x₁x₂=0，
從而（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂），
令t=x₁x₂，則由φ（t）=t-lnt，
由x₁＞0，x₂＞0，即x₁+x₂＞0．
φ′（t）=$\frac{t-1}{t}$．t＞0
可知，φ（t）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．
所以φ（t）≥φ（1）=1，
所以（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）≥1，解得x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或x₁+x₂≤$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$．
又因為x₁＞0，x₂＞0，
因此x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$成立．

點評 本題難度較大，屬于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，以及利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性進(jìn)一步研究不等式問題的題型．