【題目】雙曲線C的方程為離心率頂點到漸近線的距離為

（1）求雙曲線C的方程；

（2）點P是雙曲線C上一點，A,B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限．若求△AOB面積的取值范圍。

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）先由雙曲線標準方程求得頂點坐標和漸近線方程，進而根據(jù)頂點到漸近線的距離求得a，b和c的關系，進而根據(jù)離心率求得a和c的關系，最后根據(jù)c=綜合得方程組求得a，b和c，則雙曲線方程可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得漸近線方程，設A（m，2m），B（-n，2n），根據(jù)得P點的坐標代入雙曲線方程化簡整理m，n與λ的關系式，設∠AOB=2θ，進而根據(jù)直線的斜率求得tanθ，進而求得sin2θ，進而表示出|OA|，得到△AOB的面積的表達式，根據(jù)λ的范圍求得三角形面積的最大值和最小值，△AOB面積的取值范圍可得

試題解析：（Ⅰ）由題意知，雙曲線C的頂點到漸近線

∴ [由得∴雙曲線C的方程為

（Ⅱ）設直線AB的方程為由題意知由{

得A點的坐標為由{得B點的坐標為

由得P點的坐標為

將P點坐標代入設Q為直線AB與y軸的交點，則Q點的坐標為（0，m）．

=

設在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)

當時，△AOB的面積取得最小值2，當時，△AOB的面積取得最大值

∴△AOB面積的取值范圍是

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