Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+x²-1，g（x）=ax³+x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與y=g（x）在點(diǎn)（1，1）處相交且有相同的切線，求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）+g（x），若對于任意的a∈[-2，2]，函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[-1，1]上的值恒為負(fù)數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）與y=g（x）在點(diǎn)（1，1）處相交且有相同的切線，建立方程組，即可求a，b的值；
（Ⅱ）由題知對任意的a∈[-2，2]，在x∈[-1，1]上F（x）=x⁴+ax³+2x²+b-1＜0恒成立，即x⁴+ax³+2x²-1＜-b恒成立，設(shè)h（x）=x⁴+ax³+2x²-1，則h（x）_max＜-b，求出最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=4x³+2x，切線斜率k=f'（1）=6，------------（2分）
由題知

g′(1)=6 g(1)=1

，即

3a+2=6 a+b+1=1

，解得a=

4

3

，b=-

4

3

．------------（5分）
（Ⅱ）由題知對任意的a∈[-2，2]，在x∈[-1，1]上F（x）=x⁴+ax³+2x²+b-1＜0恒成立，
即x⁴+ax³+2x²-1＜-b恒成立．------------（7分）
設(shè)h（x）=x⁴+ax³+2x²-1，則h（x）_max＜-b
h'（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4），
令y=4x²+3ax+4，則對任意的a∈[-2，2]，恒有△=9a²-64＜0，則恒有4x²+3ax+4＞0
當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，h'（x）=x（4x²+3ax+4）≤0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，h'（x）=x（4x²+3ax+4）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．------------（12分）
h（x）_max=max{h（-1），h（1）}=max{a+2，2-a}=4，
所以-b＞4，即b＜-4------------（14分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力．