Question

已知單位向量

a

與

b

的夾角是鈍角，當(dāng)t∈R時(shí)，|

a

-t

b

|的最小值為

3

2

．
（Ⅰ）若

c

=λ

a

+(1-λ)

b

，其中λ∈R，求|

c

|的最小值；
（Ⅱ）若

c

滿(mǎn)足（

c

-

a

）（

c

-

b

）=

3

2

，求|

c

|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先確定單位向量

a

與

b

的夾角，再求出模，利用配方法求|

c

|的最小值；
（Ⅱ）設(shè)

c

=（x，y），

a

=（1，0），

b

=（-

1

2

，

3

2

），根據(jù)

c

滿(mǎn)足（

c

-

a

）（

c

-

b

）=

3

2

，求出其軌跡，即可求|

c

|的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)單位向量

a

與

b

的夾角是α，則|

a

-t

b

|=

1+t2-2tcosα

=

(t-cosα)2+sin2α

，
∵當(dāng)t∈R時(shí)，|

a

-t

b

|的最小值為

3

2

，∴|sinα|=

3

2

，
∵單位向量

a

與

b

的夾角是鈍角，∴α=

2π

3

，
∵

c

=λ

a

+(1-λ)

b

，
∴|

c

|=

λ2+(1-λ)2-λ(1-λ)

=

3(λ- 1 2 )2+ 1 4

，
∴λ=

1

2

時(shí)，|

c

|的最小值為

1

2

；
（Ⅱ）設(shè)

c

=（x，y），

a

=（1，0），

b

=（-

1

2

，

3

2

），
∴（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=

3

2

，
∴(x-

1

4

)2+(y-

3

4

)2=

9

4

，
∴|

c

|的最大值為

1 16 + 3 16

+

3

2

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其數(shù)量積的性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了數(shù)形結(jié)合的能力，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．