Question

7．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，a²-c²=b²-$\frac{8bc}{5}$，a=6，sinB=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求角A的正弦值；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cosA，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值．
（Ⅱ）由已知利用正弦定理可求b的值，代入已知可求c的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：（Ⅰ）a²-c²=b²-$\frac{8bc}{5}$，①可得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4}{5}$，…．（3分）
所以sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$．…..（6分）
（Ⅱ）因?yàn)椋篴sinB=bsinA，a=6，sinA=$\frac{3}{5}$，sinB=$\frac{4}{5}$，
所以：解得b=8，…..（8分）
因?yàn)椋篴=6，b=8，代入①，可得：c=10或$\frac{14}{5}$，…..（10分）
所以：S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=24或$\frac{168}{25}$．…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．