Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．

（1）證明PA∥平面BDE；
（2）證明：DE⊥面PBC；
（3）求直線AB與平面PBC所成角的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)AC，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連結(jié)EO，

由O，E分別為AC，CP中點(diǎn)，

∴OE∥PA

又OE平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB

（2）證明：由PD⊥平面ABCD∴PD⊥BC又CD⊥BC，

∴BC⊥平面PCD，DE⊥BC．

由PD=DC，E為P中點(diǎn)，故DE⊥PC．

∴DE⊥平面PBC

（3）解：將幾何體放到正方體中，則可得直線AB與平面PBC所成角的大小為45°
【解析】（1）連結(jié)AC，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連結(jié)EO，易證EO為△PAC的中位線，從而OE∥PA，再利用線面平行的判斷定理即可證得PA∥平面BDE；（2）依題意，易證DE⊥底面PBC，再利用面面垂直的判斷定理即可證得平面BDE⊥平面PBC；（3）將幾何體放到正方體中，則可得直線AB與平面PBC所成角的大小．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．