Question

【題目】已知函數(shù)，其中a，．

（I）若直線是曲線的切線，求ab的最大值；

（Ⅱ）設(shè)，若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實根，求a的最大整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）設(shè)出直線與相切的切點坐標(biāo)為，然后對函數(shù)進行求導(dǎo)，這樣可以得到，切點又在直線上，這樣可以得到

，則有，設(shè)函數(shù)

，求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求出函數(shù)的最大值，也就求出ab的最大值；

（Ⅱ）方法1：原方程化為，令進行換元，方程等價于，構(gòu)造函數(shù)，原問題等價于函數(shù)需有兩個不同的零點．對函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，可以知道在上存在唯一實根，這樣可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)的正負性進行分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性最后求出a的最大整數(shù)值．

方法2：原方程即為，設(shè)，

則原方程等價于關(guān)于的方程有兩個不同的解，

即關(guān)于的方程）有兩個不同的解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，得到函數(shù)的單調(diào)性，最后求出a的最大整數(shù)值．，

解：（I）設(shè)直線與相切于點．

因為，所以

所以．

又因為P在切線上，所以

所以，，

因此.

設(shè)，

則由

解得.

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

可知的最大值為，

所以的最大值為.

（Ⅱ）方法1：原方程即為，

設(shè)，則上述方程等價于．

設(shè)，則函數(shù)需有兩個不同的零點．

因為在上單調(diào)遞減，

且在上存在唯一實根，

即，即．

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．

因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

若，則．

，

不合題意，舍去．

若，則．

當(dāng)時，則，

取，則；

當(dāng)時，則，

取，則．

由此，且，.

要使函數(shù)有兩個不同的零點，

則只需，

所以只需.

因為是關(guān)于的增函數(shù)．

且，

所以存在使得，

所以當(dāng)時，．

因為是關(guān)于的減函數(shù)，

所以

又因為，

所以的最大整數(shù)值為．

方法2：原方程即為，設(shè)，

則原方程等價于關(guān)于的方程有兩個不同的解，

即關(guān)于的方程）有兩個不同的解．

設(shè)，則.

設(shè)，

由知，所以

在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，

所以存在使得.

當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所照．

要使得關(guān)于的方程有兩個不同的解，則.

當(dāng)時，設(shè)，

則，可知在上單調(diào)遞增，

在單調(diào)遞減．

又，，，

有兩個不同的零點，符合題意．

所以的最大整數(shù)值為．