Question

3．已知a＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{a^2}{x^3}-a{x^2}+\frac{2}{3}$，g（x）=-ax+1，x∈R，若在區(qū)間$（0，\frac{1}{2}]$上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，則a的取值范圍是（-3+$\sqrt{17}$，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)F（x）=f（x）-g（x），求出導(dǎo)函數(shù)，由x的范圍得到導(dǎo)函數(shù)值大雨0，即F（x）為增函數(shù)，根據(jù)閉區(qū)間x的范圍，求出F（x）的最大值，根據(jù)最大值大于0列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答 解：設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{3}$a²x³-ax²+ax-$\frac{1}{3}$，（x∈（0，$\frac{1}{2}$]），
對(duì)F（x）求導(dǎo)，得F′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）＞0，（a＞0），
∴F（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，則F（x）_max=F（$\frac{1}{2}$）．
依題意，只需F（x）_max＞0，即$\frac{1}{3}$a²×$\frac{1}{8}$-a×$\frac{1}{4}$+a×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$＞0，
∴a²+6a-8＞0，解得a＞-3+$\sqrt{17}$或a＜-3-$\sqrt{17}$（舍去）．
于是，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-3+$\sqrt{17}$，+∞）．
故答案為：（-3+$\sqrt{17}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．