Question

1．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（x+y）=f（x）f（y），f（1）=3，求不等式f（x）f（x²-3）≤27的解集（$\sqrt{3}$，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x+y）=f（x）f（y），f（1）=3，
∴f（1+1）=f（1）f（1）=3×3=9，
即f（2）=9，
則f（3）=f（1+2）f（1）f（2）=3×9=27，
則不等式，f（x）f（x²-3）≤27等價(jià)為f（x+x²-3）≤f（3），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{x}^{2}-3＞0}\\{{x}^{2}+x-3≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞\sqrt{3}或x＜-\sqrt{3}}\\{-3≤x≤2}\end{array}\right.$，
即$\sqrt{3}$＜x≤2，
即不等式的解集為：（$\sqrt{3}$，2]，
故答案為：（$\sqrt{3}$，2]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，利用抽象函數(shù)的定義關(guān)系，利用賦值法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．