12．在△ABC中，如圖，∠C=90°，AC=6，BC=8，設(shè)直線l與斜邊AB交于點E，與直角邊交于點F．設(shè)AE=x，是否存在直線l同時平分△ABC的周長和面積？若存在直線l，求出x的值，若不存在直線l，請說明理由．

分析 根據(jù)AE=x得到AF，然后表示三角形AEF的面積，列出兩個變量之間的關(guān)系式即可得出結(jié)論．

解答 解：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，所以AB=10．
∴三角形ABC的周長為24，又因EF平分三角形ABC的周長，
∴AE+AF=12，
而AE=x，
∴AF=12-x
過點E作ED⊥AC于D，
則$\frac{DE}{AE}$=sinA=$\frac{4}{5}$，∴DE=$\frac{4}{5}$x，
∴S△AEF=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}x（12-x）=\frac{1}{2}×6×8$，
∴x2-12x+60=0，方程無解，
∴不存在直線l同時平分△ABC的周長和面積．

點評 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及根據(jù)實際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件表示出有關(guān)的線段的長．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow b$|=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求cos（α-β）的值  
（2）若0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，cosβ=$\frac{12}{13}$，求sinα．

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3．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，F(xiàn)是線段DC上的點．若DC=3DF，設(shè)$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{AF}$=（　�。�
A．$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$B．$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$C．$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow$D．$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

20．已知直線y=2x+1與曲線y=x3+ax+b相切于點（1，3），則實數(shù)b的值為（　�。�
A．1B．-3C．3D．-1

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7．某城市號召中學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）．該城市某學(xué)校學(xué)生會共有12名學(xué)生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．
（Ⅰ）從學(xué)生會中任意選兩名學(xué)生組成一個小組，若這兩人參加活動次數(shù)恰好相等，則稱該小組為“和諧小組”，求任選該校兩名學(xué)生會成員組成的小組是“和諧小組”的概率；
（Ⅱ）用樣本估計總體，從該城市的中學(xué)生中任選4個小組（每小組兩人），求這4個小組中“和諧小組”的組數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且面積為6，周長為12，cosB=$\frac{3}{5}$，則邊b為（　�。�
A．3B．4$\sqrt{2}$C．4D．4$\sqrt{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．設(shè)函數(shù)f（x）=xex．     
（1）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
（3）若方程ex=$\frac{a}{x}$有實數(shù)解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．如圖，四棱錐M-ABCD中，底面ABCD為矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E為MA中點．
（1）求證：DE⊥MB；
（2）若DC=2，求二面角B-DE-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知兩條平行直線l1：$\sqrt{3}$x-y+1=0與l2：$\sqrt{3}$x-y+3=0．
（1）若直線n與l1、l2都垂直，且與坐標軸構(gòu)成的三角形的面積是2$\sqrt{3}$，求直線n的方程．
（2）若直線m經(jīng)過點（$\sqrt{3}$，4），且被l1、l2所截得的線段長為2，求直線m的方程．

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