Question

求半徑為R的球的內(nèi)接圓柱的體積的最大值，且求出圓柱體積最大時(shí)的底面半徑．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，為求出圓柱體積最大時(shí)的底面半徑，我們可以設(shè)圓柱體的底面半徑為r，進(jìn)而根據(jù)截面圓半徑、球半徑、球心距滿足勾股定理，我們可以用R與r表示出圓柱的高，進(jìn)而得到其體積的表達(dá)式，然后結(jié)合基本不等式，即可得到圓柱體積最大時(shí)的底面半徑的值．
解答：解：設(shè)圓柱體的底面半徑為r，
則球心到底面的高（即圓柱高的一半）為d，
則d=，
則圓柱的高為h=2
則圓柱的體積V=πr²h≤π（r²+h）
當(dāng)且僅當(dāng)r²=h時(shí)V取最大值
即r²=2
即r=時(shí)，
圓柱體積取最大值．
點(diǎn)評(píng)：若球的截面圓半徑為r，球心距為d，球半徑為R，則球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，即R²=r²+d²