Question

【題目】已知橢圓，四點(diǎn)、、、中恰有三點(diǎn)在橢圓上。

（1）求的方程：

（2）橢圓上是否存在不同的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于、兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為1，求證：過(guò)定點(diǎn)。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1) 結(jié)合橢圓幾何特征，可得、、在橢圓上，解方程即得橢圓的方程.(2) 設(shè)直線為，線段中點(diǎn)為，利用橢圓的中點(diǎn)弦性質(zhì)求得中點(diǎn)，即得m=-.(3) 設(shè)，根據(jù)已知得到所以直線，即得直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）結(jié)合橢圓幾何特征，可得、、在橢圓上，所以b=1,,

解得方程為.

（2）設(shè)直線為，線段中點(diǎn)為，根據(jù)橢圓中點(diǎn)弦性質(zhì)，，聯(lián)立解得中點(diǎn)，

（3）設(shè)，聯(lián)立得，

直線，所以k(x+2)-1-y=0,所以x+2=0且-1-y=0,所以x=-2,y=-1,

所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).