Question

（1）試用ε-δ語言敘述“函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x₀處連續(xù)的定義；
（2）試證明：若f（x）在點(diǎn)x=x₀處連續(xù)，且f（x₀）＞0，則存在一個(gè)x₀的（x₀-δ，x₀+δ），在這個(gè)鄰域內(nèi)，處處有f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的連續(xù)性是用極限來定義的，因而可用ε-δ的方式來描述；
（2）因?yàn)閒（x）在點(diǎn)x=x₀處連續(xù)，利用（1）中的定義找ε=

f(x0)

2

＞0，則有|f（x）-f（x₀）|＜

f(x0)

2

，即可得到f（x）處處大于0．

解答：解：（1）若對(duì)于任給的正數(shù)ε，總存在某一正數(shù)δ，使得當(dāng)|x-x₀|＜δ時(shí)，
總有|f（x）-f（x₀）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x₀處連續(xù)；
（2）證：由已知f（x）在點(diǎn)x=x₀處連續(xù)，
且f（x₀）＞0，
所以，由定義，對(duì)于給定的ε=

f(x0)

2

＞0，
必存在δ＞0，當(dāng)|x-x₀|＜δ時(shí)，
有|f（x）-f（x₀）|＜

f(x0)

2

，
從而f（x）＞f（x₀）-

f(x0)

2

=

f(x0)

2

＞0
即在（x₀-δ，x₀+δ）內(nèi)處處有f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)用ε-δ語言敘述函數(shù)連續(xù)定義，并運(yùn)用ε-δ語言描述的連續(xù)定義解決實(shí)際問題．解題時(shí)要正確理解函數(shù)的連續(xù)性．