Question

15．若實數(shù)x、y滿足x²+2xy+y²+4x²y²=4，則x-y的最大值是$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

Answer 1

分析 由x²+2xy+y²+4x²y²=4，變形為（x+y）²+（2xy）²=4．可設x+y=2cosθ，2xy=sinθ，θ∈[0，2π）．代入（x-y）²=（x+y）²-4xy=-4（sinθ+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{4}$，利用三角函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由x²+2xy+y²+4x²y²=4，變形為（x+y）²+（2xy）²=4．
可設x+y=2cosθ，2xy=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴（x-y）²=（x+y）²-4xy=4cos²θ-2sinθ=4-4sin²θ-2sinθ
=-4（sinθ+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{4}$≤$\frac{17}{4}$，當且僅當sin$θ=-\frac{1}{4}$時取等號．
∴x-y的最大值為$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．