Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x+c（x∈[0，1]）
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求證：對(duì)任意x₁，x₂∈[0，1]，總有|f(x1)-f(x2)|≤

1

4

；
（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)C的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）給出的二次函數(shù)的對(duì)稱軸是x=

1

2

，圖象開(kāi)口向上，因此，在[0，1]上，當(dāng)x=0和x=1時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等且最大，頂點(diǎn)處的函數(shù)值最��；
（2）因?yàn)閤₁，x₂是[0，1]內(nèi)的任意兩個(gè)值，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值的差一定小于等于函數(shù)在[0，1]內(nèi)的最大值與最小值的差；
（3）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]上有零點(diǎn)，說(shuō)明其頂點(diǎn)在x軸上或其下方，又因?yàn)閳D象開(kāi)口向上，還要保證圖象與x軸的交點(diǎn)在區(qū)間[0，1]上，由此列式可求實(shí)數(shù)c的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=

1

2

，且開(kāi)口向上，
∴f（x）在[0，

1

2

]上是減函數(shù)，在[

1

2

，1]上是增函數(shù)
∴f（x）_max=f（0）=f（1）=c．
f(x)min=f(

1

2

)=

1

4

-

1

2

+c=c-

1

4

．
（2）對(duì)任意x₁，x₂∈[0，1]，總有c-

1

4

≤f(x1)≤c，c-

1

4

≤f(x2)≤c|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=c-(c-

1

4

)=

1

4

即|f(x1)-f(x2)|≤

1

4

．
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=

1

2

，
函數(shù)y=f（x）在[0，1]上有零點(diǎn)，其圖象如圖，

則

f( 1 2 )≤0 f(0)≥0

，即

( 1 2 )2- 1 2 +c≤0 c≥0

解得0≤c≤

1

4

所以所求實(shí)數(shù)c的取值范圍是0≤c≤

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)在某一閉區(qū)間上任意兩點(diǎn)函數(shù)值的差的絕對(duì)值，一定小于等于該區(qū)間上的最大值與最小值的差，訓(xùn)練了利用“三個(gè)二次”結(jié)合處理函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)問(wèn)題，此題是中檔題．