如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x,都有f(x)≥M(M為常數(shù)),稱M為f(x)的下界,下界M中的最大值叫做f(x)的下確界.定義在[1,e]上的函數(shù)f(x)=2x-1+lnx的下確界M=
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1
分析:根據(jù)題中函數(shù)下界和下確界的定義,得到函數(shù)的下確界是小于或等于函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的最小值的那個常數(shù),然后利用導數(shù)研究函數(shù)f(x)=2x-1+lnx的單調(diào)性,得到它在區(qū)間[1,e]上是增函數(shù),最小值為f(1)=1,從而得到函數(shù)的下確界M=1.
解答:解:∵對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x,都有f(x)≥M(M為常數(shù)),
∴函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x,[f(x)]min≥M
∵M為f(x)的下界,下界M中的最大值叫做f(x)的下確界.
∴下確界是小于或等于函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的最小值的常數(shù)
對于f(x)=2x-1+lnx,求導數(shù)得:f'(x)=2+
1
x
,其中x∈[1,e]
1
x
∈[
1
e
,1],
∴f'(x)≥2+
1
e
>0

∴f(x)在區(qū)間[1,e]上是增函數(shù),故[f(x)]min=f(1)=2×1-1+ln1=1
∴對任意的x∈[1,e],f(x)≥1成立
函數(shù)的下界為小于或等于1的數(shù),其中最大值為1,因此下確界M=1
故答案為:1
點評:本題以函數(shù)的下界和下確界為載體,著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值的求法,考查了對不等式恒成立的理解,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,那么就稱函數(shù)f(x)是定義域上的“平緩函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)f(x)=x2-x,x∈[0,1]是否是“平緩函數(shù)”;
(2)若函數(shù)f(x)是閉區(qū)間[0,1]上的“平緩函數(shù)”,且f(0)=f(1).證明:對于任意
的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤
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成立.
(3)設a、m為實常數(shù),m>0.若f(x)=alnx是區(qū)間[m,+∞)上的“平緩函數(shù)”,試估計a的取值范圍(用m表示,不必證明).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

8、如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)≤f(x2),且存在兩個不相等的自變量值y1,y2,使得f(y1)=f(y2),就稱f(x)為定義域上的不嚴格的增函數(shù),已知函數(shù)g(x)的定義域、值域分別為A、B,A=1,2,3,B⊆A,且g(x)為定義域A上的不嚴格的增函數(shù),那么這樣的g(x)共有( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,那么就稱函數(shù)f(x)是定義域上的“平緩函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)f(x)=x2-x,x∈[0,1]是否是“平緩函數(shù)”?
(2)若函數(shù)f(x)是閉區(qū)間[0,1]上的“平緩函數(shù)”,且f(0)=f(1).證明:對任意的x,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.如果對于函數(shù)f(x)的所有上界中有一個最小的上界,就稱其為函數(shù)f(x)的上確界.已知函數(shù)f(x)=1+a•(
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2
)x+(
1
4
)x
,g(x)=
1-m•2x
1+m•2x

(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若m>0,求函數(shù)g(x)在[0,1]上的上確界T(m).

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