Question

（本小題滿分13分）

如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，∠,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 略

(2)略

(3)

【解析】（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形，

所以,

所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　………………1分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052221492559375578/SYS201205222151120468325721_DA.files/image008.png">平面，所以，　　　　　　　　　 ………………2分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052221492559375578/SYS201205222151120468325721_DA.files/image011.png">，為中點(diǎn)，

所以.              ……………3分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052221492559375578/SYS201205222151120468325721_DA.files/image016.png">,

所以平面.       ……………4分

（Ⅱ）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052221492559375578/SYS201205222151120468325721_DA.files/image003.png">為正方形，所以為中點(diǎn)，

又為中點(diǎn)，所以為中位線，

所以，            ………………6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052221492559375578/SYS201205222151120468325721_DA.files/image025.png">平面，平面，

所以平面.       ………………8分

 (Ⅲ)解： 因?yàn)閭?cè)面，均為正方形， ，

所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則.

，                             ………………9分

設(shè)平面的法向量為，則有

，， ，

取，得.                                  ………………10分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052221492559375578/SYS201205222151120468325721_DA.files/image040.png">平面，所以平面的法向量為，………11分

，                          ………………12分

因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052221492559375578/SYS201205222151120468325721_DA.files/image043.png">是鈍角，

所以，二面角的余弦值為.                  ………………13分