Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2），其焦點(diǎn)F在y軸上，直線y=kx+2交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行．

Answer 1

依題意，設(shè)拋物線C的方程為y=ax²，
（Ⅰ）∵點(diǎn)A（1，2）在拋物線C上，∴a=1．
∴拋物線C的方程為y=2x²．…（4分）
（Ⅱ）如圖，設(shè)A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得：2x²-kx-2=0，
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=

k

2

，x₁x₂=-1，∴x_N=x_M=

x1+x2

2

=

k

4

，
即N點(diǎn)的坐標(biāo)為（

k

4

，

k2

8

）．…（8分）
設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y-

k2

8

=m（x-

k

4

），
將y=2x²代入上式得：2x²-mx+

mk

4

-

k2

8

=0，
∵直線l與拋物線C相切，所以△=m²-8（

mk

4

-

k2

8

）=m²-2mk+k²=（m-k）²=0，
∴m=k，即l∥AB．…（12分）