Question

【題目】如圖，橢圓：的離心率是，長(zhǎng)軸是圓：的直徑.點(diǎn)是橢圓的下頂點(diǎn)，，是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，與圓相交于，兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)的面積取最大值時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，解可得、的值，將其值代入橢圓的方程即可得答案；

（2）設(shè)，，，直線的方程為，由直線與圓的位置關(guān)系分析可得；聯(lián)立直線與橢圓的方程，分析可得，進(jìn)而可得的面積為，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．

解：（1）由題意得：，解得：，，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，.由題意知直線的斜率存在，不妨設(shè)其為，

則直線的方程為.

又圓：，故點(diǎn)到直線的距離，

所以.

又，故直線的方程為.

由，消去，整理得，故.

所以由弦長(zhǎng)公式得.

設(shè)的面積為，則，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以所求直線的方程為.