設(shè)數(shù)列{an}，an≠0，a1=
5
6
，若以an-1，an為系數(shù)的二次方程：an-1x2+anx-1=0（n≥2，n∈N*）都有兩個(gè)不同的根α，β滿足3α-αβ+3β+1=0
（1）求證：{an-
1
2
}為等比數(shù)列；
（2）求{an}的通項(xiàng)公式并求前n項(xiàng)和Sn．
分析：（1）依題意，可得3an-1=an-1（n≥2），進(jìn)一步整理可得3（an-
1
2
）=an-1-
1
2
（n≥2），從而可證{an-
1
2
}是公比為
1
3
，首項(xiàng)為
1
3
的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，an=
1
2
+(
1
3
)n，利用分組求和的方法即可求得答案．
解答：解：（1）∵3（α+β）-αβ+1=0，
∴依題意，得3
an
an-1
-
1
an-1
=1（n≥2），
∴3an-1=an-1（n≥2），
∴3（an-
1
2
）=an-1-
1
2
（n≥2），
∴{an-
1
2
}是公比為
1
3
，首項(xiàng)為
5
6
-
1
2
=
1
3
的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，an-
1
2
=
1
3
•(
1
3
)n-1=(
1
3
)n，
∴an=
1
2
+(
1
3
)n，
∴Sn=a1+a2+…+an
=（
1
2
+
1
3
）+（
1
2
+(
1
3
)2）+…+（
1
2
+(
1
3
)n）
=
n
2
+
1
3
[1-(
1
3
)n]
1-
1
3

=
n+1
2
-
1
2×3n
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比關(guān)系的確定與數(shù)列的求和，著重考查分組求和的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于數(shù)列{xn}，如果存在一個(gè)正整數(shù)m，使得對(duì)任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把這樣一類數(shù)列{xn}稱作周期為m的周期數(shù)列，m的最小值稱作數(shù)列{xn}的最小正周期，以下簡(jiǎn)稱周期．例如當(dāng)xn=2時(shí)，{xn}是周期為1的周期數(shù)列，當(dāng)yn=sin(
π
2
n)時(shí)，{yn}的周期為4的周期數(shù)列．
（1）設(shè)數(shù)列{an}滿足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同時(shí)為0），且數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，求常數(shù)λ的值；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4Sn=（an+1）2．
①若an＞0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；
②若anan+1＜0，試判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由．
（3）設(shè)數(shù)列{an}滿足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，試問(wèn)是否存在p、q，使對(duì)任意的n∈N*都有p≤
Sn
n
≤q成立，若存在，求出p、q的取值范圍；不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，n=1，2，3，…，其中A．B為常數(shù)．
（1）求A與B的值；
（2）證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
（3）證明：不等式
5amn
-
aman
＞1對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，并且滿足an2，Sn，n成等差數(shù)列，an＞0（n∈N*）．
（1）寫出an與an-1（n≥2）的關(guān)系并求a1，a2，a3；
（2）猜想{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（3）設(shè)x＞0，y＞0，且x+y=2，求（anx+2）2+（any+2）2的最小值（用n表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n,

(1)求數(shù)列{an}的首項(xiàng)與遞推關(guān)系式an+1=f(an);

(2)先閱讀下面定理，若數(shù)列{an}有遞推關(guān)系an+1=Aan+B,其中A、B為常數(shù)，且A≠1,B≠0,則數(shù)列{an-}是以A為公比的等比數(shù)列，請(qǐng)你在第（1）題的基礎(chǔ)上應(yīng)用本定理，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(3)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=an2-nan+1,

(1)當(dāng)a1=2時(shí),求a2,a3,a4,并猜想an的通項(xiàng)公式;

(2)當(dāng)a1≥3時(shí),證明對(duì)所有n≥1有an≥n+2.

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