Question

13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c．當鈍角△ABC的三邊a，b，c是三個連續(xù)整數(shù)時，則△ABC外接圓的半徑為$\frac{{8\sqrt{15}}}{15}$．

Answer 1

分析 由題意設出鈍角三角形的三邊長分別為x，x+1，x+2，可得出x+2所對的角為鈍角，設為α，利用余弦定理表示出cosα，將設出的三邊代入，根據(jù)cosα小于0，得出x的范圍，在范圍中找出整數(shù)x的值，確定出三角形的三邊長，進而確定出cosα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinα的值，利用正弦定理即可求出三角形ABC外接圓的半徑．

解答 解：由題意得：鈍角△ABC的三邊分別為x，x+1，x+2，且x+2所對的角為鈍角α，
∴由余弦定理得：cosα=$\frac{{x}^{2}+（x+1）^{2}-（x+2）^{2}}{2x（x+1）}$=$\frac{x-3}{2x}$＜0，即x＜3，
∴x=1或x=2，
當x=1時，三角形三邊分別為1，2，3，不能構成三角形，舍去；
當x=2時，三角形三邊長分別為2，3，4，此時cosα=-$\frac{1}{4}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
設△ABC外接圓的半徑為R，根據(jù)正弦定理得：$\frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$=2R，
解得：R=$\frac{{8\sqrt{15}}}{15}$．
故答案為：$\frac{{8\sqrt{15}}}{15}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵，屬于基礎題．